逻辑回归 - 算法原理 - 逻辑回归的基本思想

逻辑回归 - 算法原理 - 逻辑回归的基本思想

一、引言

在机器学习的众多算法中，逻辑回归是一个简单而强大的工具。它虽然名字里带有“回归”，但实际上是一种广泛用于分类问题的算法。无论是预测客户是否会购买产品、判断邮件是否为垃圾邮件，还是诊断疾病是否存在，逻辑回归都能大显身手。下面我们就来深入探究逻辑回归的基本思想。

二、从线性回归到逻辑回归

（一）线性回归回顾

线性回归是我们熟悉的一种算法，其目标是找到一条直线（在二维空间）或超平面（在多维空间）来拟合数据点。例如，我们想要根据房屋的面积来预测其价格，线性回归模型可以表示为：
[y = \theta_0 + \theta_1x_1]
其中 (y) 是房屋价格，(x_1) 是房屋面积，(\theta_0) 和 (\theta_1) 是模型的参数。通过最小化预测值与真实值之间的误差，我们可以确定这些参数的值。

（二）线性回归用于分类的局限性

然而，当我们面对分类问题时，线性回归就显得力不从心了。例如，我们要判断一个客户是否会购买产品，结果只有“会”（1）和“不会”（0）两种情况。如果使用线性回归，预测值可能会超出 [0, 1] 的范围，这显然不符合概率的定义，也无法合理地进行分类。

（三）逻辑回归的引入

为了解决这个问题，逻辑回归在线性回归的基础上引入了一个非线性的函数——逻辑函数（也称为 Sigmoid 函数）。逻辑回归的基本思想是将线性回归的输出通过 Sigmoid 函数映射到 [0, 1] 的区间，这样就可以将其解释为概率。

三、逻辑函数（Sigmoid 函数）

（一）函数定义

Sigmoid 函数的数学表达式为：
[\sigma(z)=\frac{1}{1 + e^{-z}}]
其中 (z) 是线性回归的输出，即 (z=\theta_0+\theta_1x_1+\cdots+\theta_nx_n)。

（二）函数性质

• 值域：Sigmoid 函数的值域是 (0, 1)。当 (z) 趋近于正无穷时，(\sigma(z)) 趋近于 1；当 (z) 趋近于负无穷时，(\sigma(z)) 趋近于 0。
• 单调性：Sigmoid 函数是单调递增的，这意味着 (z) 越大，(\sigma(z)) 越接近 1；(z) 越小，(\sigma(z)) 越接近 0。

（三）可视化理解

我们可以通过绘制 Sigmoid 函数的图像来更直观地理解它。图像呈现出一个“S”形曲线，在 (z = 0) 处，(\sigma(z) = 0.5)。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
z = np.linspace(-10, 10, 100)
sig = 1 / (1 + np.exp(-z))
plt.plot(z, sig)
plt.axhline(y=0.5, color='r', linestyle='--')
plt.axvline(x=0, color='r', linestyle='--')
plt.xlabel('z')
plt.ylabel('σ(z)')
plt.title('Sigmoid Function')
plt.show()

四、逻辑回归模型

（一）模型表达式

逻辑回归模型可以表示为：
[P(y = 1|x)=\frac{1}{1 + e^{-(\theta_0+\theta_1x_1+\cdots+\theta_nx_n)}}]
其中 (P(y = 1|x)) 表示在给定特征 (x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)) 的情况下，样本属于正类（(y = 1)）的概率。

（二）决策规则

根据概率值，我们可以制定一个简单的决策规则：

• 如果 (P(y = 1|x)\geq0.5)，则预测 (y = 1)；
• 如果 (P(y = 1|x)<0.5)，则预测 (y = 0)。

（三）举例说明

假设我们要根据学生的考试成绩（(x_1)）和复习时间（(x_2)）来预测学生是否能通过考试（(y)）。逻辑回归模型可以表示为：
[P(y = 1|x_1,x_2)=\frac{1}{1 + e^{-(\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2)}}]
通过训练数据估计出参数 (\theta_0)、(\theta_1) 和 (\theta_2) 的值后，对于一个新的学生，我们可以根据他的考试成绩和复习时间计算出 (P(y = 1|x_1,x_2)) 的值，然后根据决策规则进行预测。

五、模型训练：最大似然估计

（一）似然函数

在逻辑回归中，我们使用最大似然估计来估计模型的参数。假设我们有 (m) 个独立的训练样本 ({(x^{(1)},y^{(1)}),(x^{(2)},y^{(2)}),\cdots,(x^{(m)},y^{(m)})})，每个样本的似然可以表示为：
[L(\theta)=\prod_{i = 1}^{m}[P(y^{(i)} = 1|x^{(i)})]^{y^{(i)}}[1 - P(y^{(i)} = 1|x^{(i)})]^{1 - y^{(i)}}]

（二）对数似然函数

为了方便计算，我们通常对似然函数取对数，得到对数似然函数：
[l(\theta)=\sum_{i = 1}^{m}[y^{(i)}\log(P(y^{(i)} = 1|x^{(i)}))+(1 - y^{(i)})\log(1 - P(y^{(i)} = 1|x^{(i)}))]]

（三）目标函数

最大似然估计的目标是找到一组参数 (\theta) 使得对数似然函数 (l(\theta)) 最大。通常我们会将目标函数转化为最小化负对数似然函数：
[J(\theta)=-\frac{1}{m}l(\theta)]

（四）优化算法

为了求解最小化 (J(\theta)) 的问题，我们可以使用梯度下降等优化算法。梯度下降的基本思想是沿着负梯度的方向不断更新参数，直到达到局部最优解。

六、总结

逻辑回归的基本思想就是将线性回归的输出通过 Sigmoid 函数映射到概率空间，从而实现分类的目的。通过最大似然估计来估计模型的参数，使得模型能够在训练数据上取得较好的表现。虽然逻辑回归是一种相对简单的算法，但它在很多实际问题中都有着广泛的应用，并且是理解更复杂分类算法的基础。