分支限界算法 - 旅行商问题 - 分支限界解旅行商问题

分支限界算法 - 旅行商问题 - 分支限界解旅行商问题

一、引言

旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一个经典的组合优化问题，其目标是找到一条遍历所有给定城市且每个城市仅访问一次，最后回到起始城市的最短路径。这个问题在物流配送、电路布线、机器人路径规划等众多领域都有广泛的应用。然而，TSP 是一个 NP - 难问题，随着城市数量的增加，可能的路径数量呈指数级增长，使用穷举法求解的时间复杂度极高。分支限界算法作为一种有效的搜索算法，可以在搜索过程中通过剪枝操作减少不必要的搜索，从而提高求解效率。

二、分支限界算法概述

（一）基本思想

分支限界算法是一种在问题的解空间树中搜索问题解的算法。它的基本思想是将解空间树中的节点按照一定的策略（如广度优先、最小耗费优先等）进行扩展，在扩展过程中，计算每个节点的上界和下界。如果某个节点的下界已经超过了当前已经找到的最优解的上界，那么该节点及其子树就可以被剪枝，不再进行扩展，从而减少搜索空间。

（二）关键概念

1. 解空间树：解空间树是问题所有可能解的集合的树形表示。对于旅行商问题，解空间树的每个节点代表一个部分解，即已经确定的部分城市的访问顺序。
2. 上界：上界是当前已经找到的最优解的目标值。在旅行商问题中，上界就是当前已经找到的最短路径的长度。
3. 下界：下界是某个节点所代表的部分解在扩展为完整解时，目标值的一个估计下限。通过计算下界，可以判断该节点是否有继续扩展的必要。

三、旅行商问题的分支限界解法

（一）问题建模

假设有 (n) 个城市，城市之间的距离矩阵为 (D = [d{ij}])，其中 (d{ij}) 表示从城市 (i) 到城市 (j) 的距离。旅行商问题的目标是找到一个城市的排列 (\pi = (\pi1, \pi_2, \cdots, \pi_n))，使得 (\sum{i = 1}^{n - 1}d{\pi_i\pi{i+1}}+d_{\pi_n\pi_1}) 最小。

（二）下界计算

为了计算节点的下界，我们可以采用贪心策略。对于每个城市，选择其到其他城市的最短距离和次短距离。对于一个部分解，已经确定的路径的长度加上未访问城市的最短出边和次短出边的一半之和，就是该部分解的一个下界。

（三）算法步骤

1. 初始化：将起始节点加入活节点表，计算起始节点的下界。初始上界设为无穷大。
2. 扩展节点：从活节点表中选择一个节点进行扩展。扩展时，生成该节点的所有子节点，并计算每个子节点的下界。
3. 剪枝操作：如果某个子节点的下界超过了当前的上界，则将该子节点剪枝；否则，将该子节点加入活节点表。
4. 更新上界：如果某个子节点是一个完整解，且其路径长度小于当前的上界，则更新上界。
5. 重复步骤 2 - 4：直到活节点表为空。

（四）示例

假设有 4 个城市，距离矩阵如下：
| | 0 | 1 | 2 | 3 |
| —- | —- | —- | —- | —- |
| 0 | 0 | 10 | 15 | 20 |
| 1 | 10 | 0 | 35 | 25 |
| 2 | 15 | 35 | 0 | 30 |
| 3 | 20 | 25 | 30 | 0 |

1. 起始节点：假设从城市 0 开始，起始节点的下界计算如下：
   • 城市 0 的最短出边为 10（到城市 1），次短出边为 15（到城市 2）。
   • 城市 1 的最短出边为 10（到城市 0），次短出边为 25（到城市 3）。
   • 城市 2 的最短出边为 15（到城市 0），次短出边为 30（到城市 3）。
   • 城市 3 的最短出边为 20（到城市 0），次短出边为 25（到城市 1）。
   • 下界 (LB=\frac{1}{2}(10 + 15+10 + 25+15 + 30+20 + 25)=70)。
2. 扩展节点：从城市 0 出发，有 3 个子节点，分别是到城市 1、城市 2 和城市 3。计算每个子节点的下界，进行剪枝和更新上界操作，不断扩展节点，直到找到最短路径。

四、代码实现（Python 示例）

import heapq
def calculate_lower_bound(dist_matrix, path):
    n = len(dist_matrix)
    lb = 0
    # 对于路径中已经确定的边
    for i in range(len(path) - 1):
        lb += dist_matrix[path[i]][path[i + 1]]
    # 对于未访问的城市
    unvisited = [i for i in range(n) if i not in path]
    for i in unvisited:
        min1 = float('inf')
        min2 = float('inf')
        for j in range(n):
            if j!= i:
                if dist_matrix[i][j] < min1:
                    min2 = min1
                    min1 = dist_matrix[i][j]
                elif dist_matrix[i][j] < min2:
                    min2 = dist_matrix[i][j]
        lb += (min1 + min2) // 2
    return lb
def tsp_branch_and_bound(dist_matrix):
    n = len(dist_matrix)
    start_node = (0, [0])  # (下界, 路径)
    live_nodes = []
    heapq.heappush(live_nodes, start_node)
    best_cost = float('inf')
    best_path = None
    while live_nodes:
        lb, path = heapq.heappop(live_nodes)
        if lb >= best_cost:
            continue
        if len(path) == n:
            cost = lb + dist_matrix[path[-1]][path[0]]
            if cost < best_cost:
                best_cost = cost
                best_path = path + [path[0]]
        else:
            last_city = path[-1]
            for next_city in range(n):
                if next_city not in path:
                    new_path = path + [next_city]
                    new_lb = calculate_lower_bound(dist_matrix, new_path)
                    if new_lb < best_cost:
                        heapq.heappush(live_nodes, (new_lb, new_path))
    return best_cost, best_path
# 测试
dist_matrix = [
    [0, 10, 15, 20],
    [10, 0, 35, 25],
    [15, 35, 0, 30],
    [20, 25, 30, 0]
]
cost, path = tsp_branch_and_bound(dist_matrix)
print("最短路径长度:", cost)
print("最短路径:", path)

五、总结

分支限界算法通过剪枝操作有效地减少了旅行商问题的搜索空间，提高了求解效率。然而，该算法的性能仍然受到问题规模的影响，对于大规模的旅行商问题，可能仍然需要较长的计算时间。在实际应用中，可以结合其他优化策略，如启发式算法，进一步提高求解效率。