动态规划算法 - 最长递增子序列 - 求解最长递增子序列

动态规划算法 - 最长递增子序列 - 求解最长递增子序列

一、引言

在计算机科学的算法世界里，有许多有趣且实用的问题，最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS）问题便是其中之一。它不仅在理论研究中有着重要地位，还在实际应用中有着广泛的用途，比如生物信息学中的基因序列分析、计算机视觉中的图像匹配等。本文将深入探讨如何使用动态规划算法来求解最长递增子序列问题。

二、问题定义

最长递增子序列问题是指在一个给定的序列 $a1, a_2, \cdots, a_n$ 中，找到一个最长的子序列 $a{i1}, a{i2}, \cdots, a{ik}$（其中 $1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n$），使得这个子序列中的元素严格递增，即 $a{i1} < a{i2} < \cdots < a{i_k}$。

例如，对于序列 [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]，它的最长递增子序列是 [2, 3, 7, 101]，长度为 4。

三、动态规划算法原理

动态规划（Dynamic Programming，简称 DP）是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题，并保存子问题的解来避免重复计算，从而解决复杂问题的方法。其核心思想在于利用已经求解过的子问题的解来推导出更大问题的解。

步骤

1. 定义状态：设 $dp[i]$ 表示以第 $i$ 个元素结尾的最长递增子序列的长度。
2. 初始化状态：对于每个元素，初始时以它自己结尾的最长递增子序列长度为 1，即 $dp[i] = 1$，其中 $i = 0, 1, \cdots, n - 1$。
3. 状态转移方程：对于每个 $i$，遍历 $0$ 到 $i - 1$ 的所有 $j$，如果 $a[j] < a[i]$，则说明可以将 $a[i]$ 接在以 $a[j]$ 结尾的递增子序列后面，此时更新 $dp[i]$ 的值为 $dp[j] + 1$ 和 $dp[i]$ 中的较大值，即 $dp[i] = \max(dp[i], dp[j] + 1)$。
4. 最终结果：遍历 $dp$ 数组，找出其中的最大值，即为整个序列的最长递增子序列的长度。

四、代码实现（Python）

def lengthOfLIS(nums):
    if not nums:
        return 0
    n = len(nums)
    # 初始化 dp 数组
    dp = [1] * n
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    # 找出 dp 数组中的最大值
    return max(dp)
# 测试
nums = [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]
print("最长递增子序列的长度为:", lengthOfLIS(nums))

五、复杂度分析

• 时间复杂度：由于使用了两层嵌套循环，外层循环遍历 $n$ 个元素，内层循环在最坏情况下也需要遍历 $n$ 个元素，因此时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 是序列的长度。
• 空间复杂度：需要一个长度为 $n$ 的 $dp$ 数组来保存中间结果，因此空间复杂度为 $O(n)$。

六、实际应用案例

假设你是一名股票分析师，你手上有某只股票连续 $n$ 天的价格数据。你想要找出在这 $n$ 天中，股票价格连续上涨天数最多的情况。这其实就是一个最长递增子序列问题。你可以将每天的股票价格看作序列中的元素，通过求解最长递增子序列的长度，就可以得到股票价格连续上涨的最大天数。

七、总结

通过动态规划算法，我们可以有效地解决最长递增子序列问题。虽然时间复杂度为 $O(n^2)$，但在大多数情况下已经足够满足需求。当然，对于一些特殊情况，还可以使用更高效的算法，如基于二分查找的 $O(n \log n)$ 算法，这将在后续的文章中进一步探讨。