动态规划算法 - 最优二叉搜索树 - 构造最优二叉搜索树

动态规划算法 - 最优二叉搜索树 - 构造最优二叉搜索树

一、引言

在数据结构和算法的领域中，二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）是一种非常重要的数据结构，它能够高效地进行查找、插入和删除操作。然而，在实际应用中，不同的关键字被搜索的频率可能不同。最优二叉搜索树（Optimal Binary Search Tree，OBST）就是为了解决这个问题而提出的，它通过合理安排节点的位置，使得在给定的搜索概率下，平均搜索代价最小。动态规划算法是解决最优二叉搜索树问题的有效方法，下面我们将深入探讨如何使用动态规划算法来构造最优二叉搜索树。

二、问题定义

给定一组有序的关键字序列 $K = {k1, k_2, \cdots, k_n}$，其中 $k_1 < k_2 < \cdots < k_n$，每个关键字 $k_i$ 都有一个对应的搜索概率 $p_i$，表示在搜索过程中查找 $k_i$ 的概率。同时，为了处理搜索失败的情况，我们还需要考虑 $n + 1$ 个虚拟关键字 $d_0, d_1, \cdots, d_n$，其中 $d_0$ 表示小于 $k_1$ 的所有值，$d_i$（$1 \leq i \leq n - 1$）表示介于 $k_i$ 和 $k{i + 1}$ 之间的所有值，$d_n$ 表示大于 $k_n$ 的所有值，每个虚拟关键字 $d_j$ 也有一个对应的搜索概率 $q_j$。我们的目标是构造一棵最优二叉搜索树，使得在该树中进行搜索的平均代价最小。

搜索的平均代价定义为：树中每个节点（包括关键字节点和虚拟关键字节点）的深度乘以其搜索概率的总和。

三、动态规划算法思路

动态规划算法的核心思想是将原问题分解为一系列子问题，并通过求解子问题来得到原问题的解。对于最优二叉搜索树问题，我们可以定义子问题如下：

设 $e[i][j]$ 表示包含关键字 $ki, k{i + 1}, \cdots, kj$ 的最优二叉搜索树的平均搜索代价，$w[i][j]$ 表示包含关键字 $k_i, k{i + 1}, \cdots, kj$ 以及虚拟关键字 $d{i - 1}, d_i, \cdots, d_j$ 的所有节点的搜索概率之和。

1. 初始化

当 $j = i - 1$ 时，即子树中不包含任何关键字，只包含一个虚拟关键字 $d{i - 1}$，此时 $e[i][i - 1] = q{i - 1}$，$w[i][i - 1] = q_{i - 1}$。

2. 状态转移方程

对于 $j \geq i$，我们需要考虑以 $kr$（$i \leq r \leq j$）为根节点的所有可能的二叉搜索树，从中选择平均搜索代价最小的作为最优解。状态转移方程如下：
[
e[i][j] = \min{i \leq r \leq j} {e[i][r - 1] + e[r + 1][j] + w[i][j]}
]
[
w[i][j] = w[i][j - 1] + p_j + q_j
]

3. 构造最优二叉搜索树

在求解 $e[i][j]$ 的过程中，我们可以使用一个二维数组 $root[i][j]$ 来记录以 $k_r$ 为根节点时能得到最优解的 $r$ 值。最后，根据 $root[i][j]$ 数组来构造最优二叉搜索树。

四、算法实现（Python 代码）

def optimal_bst(p, q, n):
    # 初始化 e 和 w 数组
    e = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(n + 2)]
    w = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(n + 2)]
    root = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(n + 1)]
    # 初始化边界条件
    for i in range(1, n + 2):
        e[i][i - 1] = q[i - 1]
        w[i][i - 1] = q[i - 1]
    # 计算子问题的解
    for l in range(1, n + 1):
        for i in range(1, n - l + 2):
            j = i + l - 1
            e[i][j] = float('inf')
            w[i][j] = w[i][j - 1] + p[j - 1] + q[j]
            for r in range(i, j + 1):
                t = e[i][r - 1] + e[r + 1][j] + w[i][j]
                if t < e[i][j]:
                    e[i][j] = t
                    root[i][j] = r
    return e, root
# 示例
p = [0.15, 0.1, 0.05, 0.1, 0.2]
q = [0.05, 0.1, 0.05, 0.05, 0.05, 0.1]
n = len(p)
e, root = optimal_bst(p, q, n)
print("最优二叉搜索树的平均搜索代价:", e[1][n])

五、复杂度分析

• 时间复杂度：算法的时间复杂度为 $O(n^3)$，主要是由于三重嵌套的循环。
• 空间复杂度：算法的空间复杂度为 $O(n^2)$，主要用于存储 $e$、$w$ 和 $root$ 数组。

六、构造最优二叉搜索树示例

假设我们有 5 个关键字 $k_1, k_2, k_3, k_4, k_5$，其搜索概率分别为 $p = [0.15, 0.1, 0.05, 0.1, 0.2]$，虚拟关键字 $d_0, d_1, d_2, d_3, d_4, d_5$ 的搜索概率分别为 $q = [0.05, 0.1, 0.05, 0.05, 0.05, 0.1]$。

计算过程表格

其中，$e[i][j]$ 表示包含关键字 $ki, k{i + 1}, \cdots, k_j$ 的最优二叉搜索树的平均搜索代价。

构造最优二叉搜索树

根据 $root$ 数组，我们可以递归地构造最优二叉搜索树。例如，$root[1][5] = 5$，说明 $k_5$ 是整棵树的根节点。然后，我们可以分别构造左子树（包含关键字 $k_1, k_2, k_3, k_4$）和右子树（空）。

七、总结

最优二叉搜索树问题是一个典型的动态规划问题，通过将原问题分解为子问题，并利用状态转移方程求解子问题，我们可以得到最优解。动态规划算法的时间复杂度为 $O(n^3)$，空间复杂度为 $O(n^2)$。在实际应用中，最优二叉搜索树可以用于提高搜索效率，特别是在关键字搜索概率不同的情况下。通过构造最优二叉搜索树，我们可以使得平均搜索代价最小，从而提高系统的性能。

通过本文的介绍，相信读者对动态规划算法构造最优二叉搜索树有了更深入的理解。在实际应用中，可以根据具体的需求和数据特点，灵活运用该算法来解决相关问题。