动态规划算法 - 编辑距离 - 计算字符串编辑距离

动态规划算法 - 编辑距离 - 计算字符串编辑距离

一、引言

在自然语言处理、生物信息学等众多领域中，我们常常需要比较两个字符串的相似程度。例如，在拼写检查时，需要判断输入的错误单词和正确单词之间的差异；在基因序列分析中，要比较不同生物的基因序列相似度。编辑距离（Edit Distance），也称为莱文斯坦距离（Levenshtein Distance），就是一种衡量两个字符串差异程度的有效方法。本文将深入探讨如何使用动态规划算法来计算字符串的编辑距离。

二、编辑距离的定义

编辑距离是指两个字符串之间，由一个字符串转换成另一个字符串所需的最少编辑操作次数。允许的编辑操作包括：

1. 插入一个字符：在字符串的某个位置插入一个新字符。
2. 删除一个字符：从字符串中删除一个字符。
3. 替换一个字符：将字符串中的一个字符替换为另一个字符。

例如，将字符串“kitten”转换为“sitting”，可以通过以下步骤实现：

• 将“k”替换为“s”。
• 在“e”后面插入“i”。
• 将“n”替换为“g”。
  总共需要 3 次编辑操作，所以“kitten”和“sitting”的编辑距离为 3。

三、动态规划算法原理

动态规划（Dynamic Programming）是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题，并保存子问题的解来避免重复计算，从而解决复杂问题的方法。计算编辑距离就可以通过动态规划算法来实现，具体步骤如下：

1. 定义状态

设 dp[i][j] 表示字符串 s1 的前 i 个字符和字符串 s2 的前 j 个字符之间的编辑距离。

2. 初始化边界条件

• 当 i = 0 时，dp[0][j] = j，表示将空字符串转换为 s2 的前 j 个字符需要 j 次插入操作。
• 当 j = 0 时，dp[i][0] = i，表示将 s1 的前 i 个字符转换为空字符串需要 i 次删除操作。

3. 状态转移方程

对于 dp[i][j]，有以下三种情况：

• 如果 s1[i - 1] == s2[j - 1]，则 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]，因为当前字符相同，不需要进行额外的编辑操作。
• 如果 s1[i - 1]!= s2[j - 1]，则 dp[i][j] 取以下三种操作的最小值：
  • 插入操作：dp[i][j - 1] + 1，表示在 s1 的前 i 个字符后面插入一个字符，使其与 s2 的前 j 个字符匹配。
  • 删除操作：dp[i - 1][j] + 1，表示删除 s1 的第 i 个字符。
  • 替换操作：dp[i - 1][j - 1] + 1，表示将 s1 的第 i 个字符替换为 s2 的第 j 个字符。

用公式表示为：
[
dp[i][j] =
\begin{cases}
dp[i - 1][j - 1] & \text{if } s1[i - 1] == s2[j - 1] \
\min(dp[i][j - 1] + 1, dp[i - 1][j] + 1, dp[i - 1][j - 1] + 1) & \text{if } s1[i - 1]!= s2[j - 1]
\end{cases}
]

4. 最终结果

dp[m][n] 即为字符串 s1 和 s2 的编辑距离，其中 m 和 n 分别是 s1 和 s2 的长度。

四、代码实现（Python）

def edit_distance(s1, s2):
    m, n = len(s1), len(s2)
    # 初始化 dp 数组
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    # 初始化边界条件
    for i in range(m + 1):
        dp[i][0] = i
    for j in range(n + 1):
        dp[0][j] = j
    # 填充 dp 数组
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if s1[i - 1] == s2[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i][j - 1] + 1,  # 插入
                               dp[i - 1][j] + 1,  # 删除
                               dp[i - 1][j - 1] + 1)  # 替换
    return dp[m][n]
# 测试
s1 = "kitten"
s2 = "sitting"
print(f"字符串 '{s1}' 和 '{s2}' 的编辑距离为: {edit_distance(s1, s2)}")

五、复杂度分析

• 时间复杂度：$O(m * n)$，其中 m 和 n 分别是两个字符串的长度。因为需要填充一个 $m+1$ 行 $n+1$ 列的二维数组。
• 空间复杂度：$O(m * n)$，主要用于存储 dp 数组。不过，可以通过优化将空间复杂度降低到 $O(min(m, n))$。

六、总结

编辑距离是一种非常实用的字符串相似度度量方法，通过动态规划算法可以高效地计算出来。在实际应用中，我们可以根据编辑距离来进行拼写检查、文本相似度匹配等任务。希望本文能帮助你理解和掌握动态规划算法计算字符串编辑距离的方法。