回归算法 - Lasso 回归 - 带约束的回归算法

回归算法 - Lasso 回归 - 带约束的回归算法

一、引言

在机器学习的回归问题中，我们常常需要找到一个合适的模型来拟合数据，并且希望这个模型具有良好的泛化能力。普通最小二乘法（OLS）是一种常用的线性回归方法，但它有时会出现过拟合的问题，特别是当特征数量较多时。为了解决这个问题，正则化方法应运而生，Lasso 回归就是其中一种非常有效的带约束的回归算法。

二、Lasso 回归的原理

2.1 普通线性回归

普通线性回归的目标是最小化残差平方和（RSS），其数学表达式为：
[RSS(\beta)=\sum{i = 1}^{n}(y_i-\beta_0-\sum{j = 1}^{p}\betajx{ij})^2]
其中，(n) 是样本数量，(p) 是特征数量，(yi) 是第 (i) 个样本的真实值，(\beta_j) 是第 (j) 个特征的系数，(x{ij}) 是第 (i) 个样本的第 (j) 个特征值。

2.2 Lasso 回归

Lasso 回归在普通线性回归的基础上加入了 (L1) 正则化项，其目标函数为：
[L(\beta)=\sum{i = 1}^{n}(y_i-\beta_0-\sum{j = 1}^{p}\betajx{ij})^2+\lambda\sum_{j = 1}^{p}|\beta_j|]
其中，(\lambda) 是正则化参数，用于控制正则化的强度。(L1) 正则化项的作用是使得一些特征的系数变为 0，从而实现特征选择的目的。

2.3 特征选择原理

与 (L2) 正则化（如 Ridge 回归）不同，(L1) 正则化具有使某些系数严格为 0 的特性。这是因为 (L1) 正则化的约束区域是一个菱形，在求解最优解时，最优解更容易落在坐标轴上，从而使得对应的特征系数为 0。

三、Lasso 回归的优缺点

3.1 优点

• 特征选择：可以自动选择重要的特征，减少模型的复杂度，提高模型的可解释性。
• 处理高维数据：在特征数量远大于样本数量的情况下，Lasso 回归仍然可以表现良好。

3.2 缺点

• 选择合适的 (\lambda) 困难：正则化参数 (\lambda) 的选择对模型的性能影响较大，需要通过交叉验证等方法进行调优。
• 不能处理多重共线性：当特征之间存在高度的多重共线性时，Lasso 回归可能会随机选择其中一个特征，而忽略其他相关特征。

四、演示代码

下面我们使用 Python 的 scikit-learn 库来演示 Lasso 回归的使用。

import numpy as np
from sklearn.datasets import make_regression
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import Lasso
from sklearn.metrics import mean_squared_error
# 生成数据集
X, y = make_regression(n_samples=100, n_features=10, noise=0.5, random_state=42)
# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
# 创建 Lasso 回归模型
lasso = Lasso(alpha=0.1)  # alpha 相当于正则化参数 lambda
# 训练模型
lasso.fit(X_train, y_train)
# 预测
y_pred = lasso.predict(X_test)
# 计算均方误差
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
print(f"均方误差: {mse}")
# 查看系数
print("模型系数:", lasso.coef_)

五、参数调优

正则化参数 (\lambda)（在 scikit-learn 中用 alpha 表示）的选择对 Lasso 回归的性能至关重要。我们可以使用交叉验证来选择最优的 (\lambda) 值。

from sklearn.linear_model import LassoCV
# 创建 LassoCV 模型，使用 5 折交叉验证
lasso_cv = LassoCV(alphas=np.logspace(-4, 4, 100), cv=5)
# 训练模型
lasso_cv.fit(X_train, y_train)
# 输出最优的 alpha 值
print("最优的 alpha 值:", lasso_cv.alpha_)
# 预测
y_pred_cv = lasso_cv.predict(X_test)
# 计算均方误差
mse_cv = mean_squared_error(y_test, y_pred_cv)
print(f"交叉验证后的均方误差: {mse_cv}")

六、总结

Lasso 回归是一种非常实用的回归算法，它通过加入 (L1) 正则化项，实现了特征选择的目的，提高了模型的可解释性和泛化能力。在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的正则化参数 (\lambda)，以获得最优的模型性能。