判别分析 - 线性判别分析 - 分类与判别模型

判别分析 - 线性判别分析 - 分类与判别模型

一、引言

在数据分析和机器学习领域，分类问题是一个非常重要的研究方向。判别分析作为一种经典的分类方法，旨在根据样本的特征变量将其划分到不同的类别中。线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，LDA）是判别分析中最为常用的方法之一，它通过寻找一个投影方向，使得不同类别的样本在该投影方向上尽可能分开，同一类别的样本尽可能聚集。本文将详细介绍线性判别分析的原理、实现步骤，并通过R语言代码进行演示。

二、线性判别分析原理

2.1 基本思想

线性判别分析的基本思想是将高维的数据投影到低维空间中，同时使得投影后不同类别的数据尽可能分开，同一类别的数据尽可能紧凑。具体来说，LDA通过最大化类间散布矩阵和最小化类内散布矩阵的比值来找到最优的投影方向。

2.2 数学公式

假设有 $k$ 个类别，第 $i$ 类有 $ni$ 个样本，总样本数为 $N=\sum{i=1}^{k}n_i$。设样本的特征向量为 $x$，第 $i$ 类的均值向量为 $\mu_i$，总体均值向量为 $\mu$。

• 类内散布矩阵 $Sw$：
  [S_w=\sum{i=1}^{k}\sum_{x\in D_i}(x - \mu_i)(x - \mu_i)^T]
  其中 $D_i$ 表示第 $i$ 类的样本集合。

• 类间散布矩阵 $Sb$：
  [S_b=\sum{i=1}^{k}n_i(\mu_i - \mu)(\mu_i - \mu)^T]

LDA的目标是找到投影方向 $w$，使得下式最大化：
[J(w)=\frac{w^TS_bw}{w^TS_ww}]

通过求解广义特征值问题 $S_bw=\lambda S_ww$，可以得到最优的投影方向 $w$。

三、线性判别分析实现步骤

3.1 数据准备

首先需要收集和整理数据，将数据分为训练集和测试集。训练集用于构建判别模型，测试集用于评估模型的性能。

3.2 计算类内散布矩阵和类间散布矩阵

根据上述公式计算 $S_w$ 和 $S_b$。

3.3 求解广义特征值问题

求解 $S_bw=\lambda S_ww$，得到特征值和特征向量。选择前 $d$ 个最大特征值对应的特征向量作为投影方向。

3.4 投影数据

将数据投影到投影方向上，得到低维表示。

3.5 分类预测

使用训练好的模型对测试集进行分类预测，并评估模型的性能。

四、R语言代码演示

4.1 数据准备

我们使用R语言中的iris数据集进行演示。该数据集包含了150个样本，分为3个类别，每个样本有4个特征变量。

# 加载数据集
data(iris)
# 划分训练集和测试集
set.seed(123)
train_index <- sample(1:nrow(iris), 0.7 * nrow(iris))
train_data <- iris[train_index, ]
test_data <- iris[-train_index, ]
# 提取特征变量和类别变量
train_x <- train_data[, 1:4]
train_y <- train_data[, 5]
test_x <- test_data[, 1:4]
test_y <- test_data[, 5]

4.2 进行线性判别分析

使用MASS包中的lda()函数进行线性判别分析。

# 加载MASS包
library(MASS)
# 构建LDA模型
lda_model <- lda(train_x, train_y)
# 查看模型结果
lda_model

4.3 预测和评估

使用训练好的模型对测试集进行预测，并计算分类准确率。

# 预测测试集
lda_pred <- predict(lda_model, test_x)
# 提取预测类别
pred_classes <- lda_pred$class
# 计算分类准确率
accuracy <- sum(pred_classes == test_y) / length(test_y)
cat("分类准确率:", accuracy, "\n")

4.4 可视化

使用ggplot2包对投影后的数据进行可视化。

# 加载ggplot2包
library(ggplot2)
# 提取投影后的数据
lda_scores <- lda_pred$x
# 创建数据框
plot_data <- data.frame(LD1 = lda_scores[, 1], LD2 = lda_scores[, 2], Species = test_y)
# 绘制散点图
ggplot(plot_data, aes(x = LD1, y = LD2, color = Species)) +
  geom_point() +
  labs(title = "线性判别分析投影结果", x = "LD1", y = "LD2")

五、总结

本文介绍了线性判别分析的原理、实现步骤，并通过R语言代码进行了演示。线性判别分析是一种简单而有效的分类方法，它可以将高维数据投影到低维空间中，同时保持不同类别的可分性。在实际应用中，线性判别分析可以用于图像识别、生物信息学、市场营销等领域。

通过本文的介绍和代码演示，相信读者对线性判别分析有了更深入的了解，并能够在实际问题中应用该方法进行分类和判别。