时间序列分析 - 预测模型 - 构建 ARIMA 等预测模型

时间序列分析 - 预测模型 - 构建 ARIMA 等预测模型

一、引言

在许多领域，如金融、气象、销售等，我们常常需要对未来的数据进行预测。时间序列分析就是一种强大的工具，它可以帮助我们理解数据随时间的变化规律，并基于这些规律构建预测模型。本文将介绍几种常见的时间序列预测模型，包括 ARIMA 模型，并通过 R 语言代码进行演示。

二、时间序列基础概念

2.1 平稳性

平稳性是时间序列分析中的一个重要概念。一个平稳的时间序列具有恒定的均值、方差和自协方差，不随时间的推移而变化。平稳性是许多时间序列模型的前提条件，因为只有平稳的序列才能更好地进行建模和预测。

2.2 自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）

• 自相关函数（ACF）：衡量序列中不同时间点之间的相关性。它可以帮助我们确定序列的周期性和滞后阶数。
• 偏自相关函数（PACF）：在控制了中间滞后项的影响后，衡量两个时间点之间的相关性。PACF 常用于确定 AR 模型的阶数。

三、常见的时间序列预测模型

3.1 AR（自回归）模型

AR 模型假设当前值是过去若干期值的线性组合，其数学表达式为：
[
Yt = c + \sum{i = 1}^{p} \phii Y{t - i} + \epsilon_t
]
其中，$Y_t$ 是当前值，$c$ 是常数，$\phi_i$ 是自回归系数，$p$ 是自回归阶数，$\epsilon_t$ 是白噪声。

3.2 MA（移动平均）模型

MA 模型假设当前值是过去若干期白噪声的线性组合，其数学表达式为：
[
Yt = \mu + \epsilon_t + \sum{i = 1}^{q} \thetai \epsilon{t - i}
]
其中，$\mu$ 是均值，$\theta_i$ 是移动平均系数，$q$ 是移动平均阶数。

3.3 ARIMA（自回归积分滑动平均）模型

ARIMA 模型是 AR 模型和 MA 模型的扩展，它通过差分来处理非平稳序列。其数学表达式为：
[
\phi(B)(1 - B)^d Y_t = c + \theta(B) \epsilon_t
]
其中，$\phi(B)$ 是自回归多项式，$(1 - B)^d$ 是差分算子，$\theta(B)$ 是移动平均多项式，$d$ 是差分阶数。

四、R 语言代码演示

4.1 数据准备

我们使用 R 语言中的 AirPassengers 数据集，该数据集记录了 1949 年至 1960 年每月的航空乘客数量。

# 加载数据集
data("AirPassengers")
# 查看数据集信息
str(AirPassengers)
# 绘制时间序列图
plot(AirPassengers, main = "Monthly Airline Passengers", ylab = "Passengers")

4.2 平稳性检验

我们使用 adf.test() 函数进行单位根检验，以判断序列是否平稳。

library(tseries)
# 进行 ADF 检验
adf.test(AirPassengers)

4.3 差分处理

由于原始序列不平稳，我们对其进行一阶差分。

# 一阶差分
diff_passengers <- diff(AirPassengers)
# 绘制差分后的时间序列图
plot(diff_passengers, main = "Differenced Monthly Airline Passengers", ylab = "Passengers")
# 再次进行 ADF 检验
adf.test(diff_passengers)

4.4 确定 ARIMA 模型的阶数

我们通过观察 ACF 和 PACF 图来确定 ARIMA 模型的阶数。

# 绘制 ACF 和 PACF 图
par(mfrow = c(1, 2))
acf(diff_passengers, main = "ACF of Differenced Series")
pacf(diff_passengers, main = "PACF of Differenced Series")

4.5 拟合 ARIMA 模型

根据 ACF 和 PACF 图的结果，我们选择合适的阶数来拟合 ARIMA 模型。

# 拟合 ARIMA 模型
arima_model <- arima(AirPassengers, order = c(2, 1, 2))
# 查看模型摘要
summary(arima_model)

4.6 模型预测

使用拟合好的 ARIMA 模型进行未来 12 个月的预测。

# 进行预测
forecast_result <- forecast(arima_model, h = 12)
# 绘制预测结果图
plot(forecast_result, main = "Forecast of Airline Passengers")

五、总结

通过本文的介绍，我们了解了时间序列分析的基础概念，掌握了常见的时间序列预测模型，并通过 R 语言代码演示了如何构建和使用 ARIMA 模型进行预测。希望这些内容对你在时间序列分析和预测方面有所帮助。