假设检验 - 卡方检验 - 检验分类变量独立性

假设检验 - 卡方检验 - 检验分类变量独立性

一、引言

在数据分析的世界里，我们常常需要探究不同变量之间的关系。当涉及到分类变量时，卡方检验是一种非常有用的工具，它可以帮助我们判断两个或多个分类变量之间是否存在关联。例如，我们可能想知道性别与是否喜欢某种运动之间是否有关系，或者不同地区的人群对某种产品的偏好是否存在差异。本文将详细介绍卡方检验在检验分类变量独立性方面的原理、步骤，并通过 R 语言进行演示。

二、卡方检验的原理

卡方检验的基本思想是比较观察频数和期望频数之间的差异。观察频数是我们在实际数据中观察到的各类别的频数，而期望频数是在假设两个分类变量相互独立的情况下，我们预期会出现的频数。如果观察频数和期望频数之间的差异足够大，我们就有理由拒绝两个变量相互独立的原假设，认为它们之间存在某种关联。

卡方统计量的计算公式为：
[ \chi^2 = \sum{i=1}^{r} \sum{j=1}^{c} \frac{(O{ij} - E{ij})^2}{E{ij}} ]
其中，$O{ij}$ 是第 $i$ 行第 $j$ 列的观察频数，$E_{ij}$ 是第 $i$ 行第 $j$ 列的期望频数，$r$ 是行数，$c$ 是列数。

期望频数的计算公式为：
[ E_{ij} = \frac{R_i \times C_j}{n} ]
其中，$R_i$ 是第 $i$ 行的合计频数，$C_j$ 是第 $j$ 列的合计频数，$n$ 是总频数。

三、卡方检验的步骤

1. 提出原假设和备择假设
   • 原假设 $H_0$：两个分类变量相互独立。
   • 备择假设 $H_1$：两个分类变量不相互独立。
2. 计算期望频数：根据上述公式计算每个单元格的期望频数。
3. 计算卡方统计量：使用卡方统计量的计算公式计算 $\chi^2$ 值。
4. 确定自由度：自由度 $df = (r - 1) \times (c - 1)$，其中 $r$ 是行数，$c$ 是列数。
5. 查找临界值或计算 p 值：根据自由度和显著性水平（通常为 0.05），查找卡方分布的临界值，或者直接计算 p 值。
6. 做出决策：如果卡方统计量大于临界值或 p 值小于显著性水平，则拒绝原假设，认为两个分类变量不相互独立；否则，接受原假设，认为两个分类变量相互独立。

四、R 语言演示

示例数据

假设我们进行了一项调查，询问了 200 个人的性别（男、女）和是否喜欢看电影（是、否），得到了以下数据：

R 代码实现

# 创建数据矩阵
movie_data <- matrix(c(60, 40, 70, 30), nrow = 2, byrow = TRUE)
colnames(movie_data) <- c("喜欢看电影", "不喜欢看电影")
rownames(movie_data) <- c("男", "女")
# 进行卡方检验
chi_square_test <- chisq.test(movie_data)
# 输出结果
print(chi_square_test)

代码解释

1. 创建数据矩阵：使用 matrix() 函数创建一个 2x2 的矩阵，存储观察频数。
2. 设置列名和行名：使用 colnames() 和 rownames() 函数为矩阵设置列名和行名，使结果更易读。
3. 进行卡方检验：使用 chisq.test() 函数对矩阵进行卡方检验，该函数会自动计算期望频数、卡方统计量、自由度和 p 值。
4. 输出结果：使用 print() 函数输出卡方检验的结果。

结果解读

运行上述代码后，会输出以下结果：

    Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
data:  movie_data
X-squared = 1.5385, df = 1, p-value = 0.2144

• X-squared：卡方统计量的值，这里为 1.5385。
• df：自由度，这里为 1。
• p-value：p 值，这里为 0.2144。

由于 p 值（0.2144）大于显著性水平 0.05，我们接受原假设，认为性别和是否喜欢看电影之间相互独立。

五、注意事项

1. 样本量要求：卡方检验要求每个单元格的期望频数至少为 5。如果某些单元格的期望频数小于 5，可能需要合并某些类别或使用其他方法进行分析。
2. 连续性校正：当自由度为 1 时，R 语言的 chisq.test() 函数默认使用 Yates’ 连续性校正。如果样本量较大，校正可能会影响结果的准确性，可以通过设置 correct = FALSE 来取消校正。

六、总结

卡方检验是一种简单而有效的方法，用于检验两个或多个分类变量之间的独立性。通过比较观察频数和期望频数之间的差异，我们可以判断变量之间是否存在关联。在实际应用中，我们可以使用 R 语言的 chisq.test() 函数轻松完成卡方检验。

希望本文能够帮助你理解卡方检验在检验分类变量独立性方面的应用，通过 R 语言的演示代码，你可以轻松地在实际数据分析中运用这一方法。