假设检验 - 双样本 t 检验 - 比较两组样本均值

假设检验 - 双样本 t 检验 - 比较两组样本均值

一、引言

在统计学中，我们常常需要比较两组数据的均值是否存在显著差异。例如，医学研究中比较两种药物的疗效，教育领域比较两种教学方法的效果等。双样本 t 检验就是一种非常实用的统计方法，用于判断两个独立样本的均值是否来自具有相同均值的总体。本文将详细介绍双样本 t 检验的原理、适用条件、步骤，并通过 R 语言进行演示。

二、双样本 t 检验的原理和适用条件

原理

双样本 t 检验的基本思想是基于 t 分布。它通过计算一个 t 统计量，来衡量两组样本均值之间的差异相对于样本内部变异性的大小。如果 t 统计量的值足够大，就说明两组样本均值之间的差异不太可能是由于随机误差引起的，从而拒绝原假设。

适用条件

1. 独立性：两组样本必须是相互独立的，即一组样本的取值不会影响另一组样本的取值。
2. 正态性：两组样本分别来自的总体应近似服从正态分布。在样本量较大时（一般认为每组样本量大于 30），根据中心极限定理，样本均值近似服从正态分布，此时对总体正态性的要求可以适当放宽。
3. 方差齐性：两组样本所来自总体的方差应相等。如果方差不相等，则需要使用校正的 t 检验方法。

三、双样本 t 检验的步骤

1. 提出原假设和备择假设
   • 原假设 (H_0)：两组样本的总体均值相等，即 (\mu_1 = \mu_2)。
   • 备择假设 (H_1)：两组样本的总体均值不相等，即 (\mu_1 \neq \mu_2)（双侧检验）；或者 (\mu_1 > \mu_2) 或 (\mu_1 < \mu_2)（单侧检验）。
2. 确定显著性水平 (\alpha)
   通常取 (\alpha = 0.05) 或 (\alpha = 0.01)。
3. 计算 t 统计量和 p 值
   根据样本数据计算 t 统计量，然后根据 t 分布计算相应的 p 值。
4. 做出决策
   如果 (p < \alpha)，则拒绝原假设，认为两组样本的总体均值存在显著差异；如果 (p \geq \alpha)，则不拒绝原假设，认为两组样本的总体均值没有显著差异。

四、R 语言演示

示例数据

假设我们有两组学生的考试成绩，分别采用了两种不同的教学方法。我们想比较这两种教学方法是否对学生的成绩有显著影响。

# 生成示例数据
set.seed(123)
group1 <- rnorm(30, mean = 80, sd = 10)  # 第一组学生成绩，样本量为 30，均值为 80，标准差为 10
group2 <- rnorm(30, mean = 85, sd = 10)  # 第二组学生成绩，样本量为 30，均值为 85，标准差为 10
# 进行双样本 t 检验
t_test_result <- t.test(group1, group2)
# 输出结果
t_test_result

代码解释

1. set.seed(123)：设置随机数种子，确保结果的可重复性。
2. rnorm() 函数：生成服从正态分布的随机数。
3. t.test() 函数：进行双样本 t 检验。默认情况下，它会进行双侧检验，并假设两组样本的方差不相等（使用 Welch 校正）。如果要假设方差相等，可以添加参数 var.equal = TRUE。
4. 最后输出检验结果。

结果解读

运行上述代码后，会输出一系列检验结果，主要包括：

• t 统计量：衡量两组样本均值差异的大小。
• 自由度：用于确定 t 分布的形状。
• p 值：判断是否拒绝原假设的关键指标。
• 置信区间：给出两组样本均值差异的可能范围。

方差齐性检验

在进行双样本 t 检验之前，最好先进行方差齐性检验。可以使用 var.test() 函数进行 F 检验。

# 方差齐性检验
var_test_result <- var.test(group1, group2)
var_test_result

如果方差齐性检验的 p 值大于显著性水平（如 0.05），则可以认为两组样本的方差相等，此时可以使用不进行 Welch 校正的 t 检验。

# 假设方差相等的双样本 t 检验
t_test_equal_var <- t.test(group1, group2, var.equal = TRUE)
t_test_equal_var

五、总结

双样本 t 检验是一种非常实用的统计方法，通过 R 语言可以方便地进行计算和分析。在实际应用中，要注意满足检验的适用条件，并根据方差齐性的结果选择合适的 t 检验方法。希望本文能帮助你更好地理解和应用双样本 t 检验。